いいえ。著作権は、楽曲を創作した時点で自動的に発生します。登録しないと著作権が認められないということはありません。

著作権法では、著作物の創作と同時に著作者に著作権が発生すること、また著作権を持つために特別な手続きは必要ないことを定めています（第51条1項、第17条2項）。

参考：音楽の著作権とは