いいえ。ごく短いフレーズだけの利用、という理由で著作権の手続きが要らなくなる、ということはありません。
インターネット上の個人のブログなどで「4小節程度や、15秒までなら、著作権手続きは要らない」という書き込みが散見されるようですが、法令などにはどこにもそのような規定はありません。
短いフレーズでも、著作権が存続している他者の著作物であれば、雑誌への掲載、ビデオへの録音など利用方法に応じ、事前に著作権手続きをしていただく必要があります。
なお、著作権法には、「引用」という規定があり(著作権法第32条1項)、所定の要件を満たした場合は、法律上の引用に該当し許諾なく利用することができます。(この引用の要件には、特定の小節数、秒数、文字数などは規定されておりません。)
また、その作品と特定することが困難なほどにごく短いフレーズについては、ごくありふれた一般的な表現として、著作物性(同法第2条1項1号)を有さず、著作物利用には当たらないケースもあります。
【参考】著作権法(抜粋)
第32条1項(引用)
公表された著作物は、引用して利用することができる。この場合において、その引用は、公正な慣行に合致するものであり、かつ、報道、批評、研究その他の引用の目的上正当な範囲内で行なわれるものでなければならない。
第2条1項1号(著作物の定義)
思想又は感情を創作的に表現したものであつて、文芸、学術、美術又は音楽の範囲に属するものをいう。