個人の市・県民税は、毎年1月1日現在の住所地を管轄する市町村が、前年中(1月から12月まで)の所得に基づいて課税することになっています。
したがって、年の中途で死亡された場合であっても、その年度分の市・県民税は納めていただかなければなりません。
あなたのお父さんに納めていただくことになっていた市・県民税については、相続人にその納税義務が承継されますので、残りの税額を納めていただくことになります。
なお、今年中に死亡された方に対しては、来年度分の市・県民税は課税されませんが、所得税の申告が必要となる場合がありますので、詳しくは鳥取税務署(0857-22-2141)へお尋ねください。