いいえ。著作権は、著作物を創作すると同時に、その著作者に発生します。どこかに登録しないと著作権が認められないということはありません。
著作権法は、第51条1項において、創作と同時にその著作者に著作権が発生すること、第17条2項において、著作権の享有にいかなる方式の履行も要しないことを定めています。
参考サイト:
著作権はどうしたら発生するの?登録が必要?
なお、著作権の管理は、全て著作者ご自身で行うこともできますが、音楽出版者と著作権契約を結んだり、JASRACなどの著作権管理事業者に管理を委託する方法もあります。
参考サイト:
著作権管理の方法について